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mei | 16 November, 2010 | 一般 | (39 Reads)

  投擲一枚均勻的硬幣,在連續擲得9次正面的情況下,第10次擲得正面的可能性為多少?
  回答這個問題時,一種可能的觀點是︰前面9次都是正面,第10次也應不會例外,因此做出可能性超過一半甚至有人可能會給出90%的回答。另一種可能的觀點是︰本來出現正、反面的可能性是一樣的,現下,9次都是正面,第10次不可能是正面了,於是做出可能性低於一半甚至有人可能會給出10%的回答。
 

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 類似的例子比比皆是。
  如︰在一個賭徒連賭連贏之後,有些賭徒會認為“他正走運呢”,打賭他還會贏;另一些賭徒卻認為。他應該要輸了,這樣輸贏才能平衡。而在一個賭徒連賭連輸之後,同樣的有些賭徒會認為“他太背運了”,打賭他會繼續輸;另一些賭徒卻認為,“機會很快會變得對他有利”、“他的運氣要改變”,他應該贏了,這樣輸贏才能平衡。
  再如︰許多人潛心研究彩票中獎號碼的規律,並且做了許多圖表,試圖發現利用已知數據預測中獎號碼的方法。根據圖表,一方主張︰在上一輪中剛剛產生的號碼是比較“熱”的號碼,在下一輪中這些號碼再次出現的機率較高。另一方提出針鋒相對的觀點︰“風水輪流轉”,那些在最近沒有出現過的號碼在下一輪中出現的機率才更高。
  再比如︰一對已生了4個女兒的夫婦,在計畫生第5胎時,會相信既然前面4個孩子都是女孩,那第5個應該是男孩了。當然,也有人會認為,這對夫婦就是生女兒的命,從而斷定他們第5胎還是女兒。
  如果接受上面例子中提出的觀點,那你就陷入了賭徒的謬誤。在給出正確結論之前,我們先對賭徒的謬誤總結並進一步分析一下。
  在賭徒的謬誤中,一種是認為前面經常發生的事件,在後面仍會發生。在理論上,當假定比如說硬幣是均勻無偏的情況下,這種觀點是錯誤的。不過,在現實生活中,這種看法有某種合理之處。比如我們拋擲一枚具體的硬幣,它前9次的結果都是正面朝上,此時我們確有很強的理由懷疑這是一枚有偏的硬幣,或者說它並非均勻的。這種情況下,倒是真的可以相信,第10次拋擲時出現正面朝上的機率大於1/2。對此,我們可以舉個有趣的例子。
  這個例子發生在賭城蒙特卡羅。1873年,一家名為“純藝術”的賭場發生了一次令賭場瞠目結舌的事件。一個名叫約瑟夫,賈格斯的英國工程師讓他的助手提前一天到賭場,記錄下當天出現的所有數字。賈格斯仔細研究這些數字後發現,第六台輪盤賭機上有9個數字被選中的機率遠遠高出一般機率。第二天他來到賭場。在那台賭機上專押這9個數字。結果,到第4天結束時,他已經贏了30萬美元。賈格斯之所以交好運,並不是贏在數學上,而是贏在物理學上。那台輪盤賭機上有一條小裂縫,正是這條小裂縫讓那9個數字出現的頻率高於統計學的估算。從那以後,蒙特卡羅賭場裡的輪盤賭機每天都要由專業質量管理人員檢查調試,以確保所有數字被選中的機率相同。
  賭徒的謬誤中,另一種觀點是相信︰某一偶然事件出現得越是頻繁,它再次出現的可能性就越小。這種觀點似乎有一種很強的理論根據︰平均數定律。以拋硬幣為例。假定硬幣是無偏向的,那麼它出現反面與出現正面的可能性是一樣的。因此,許多人相信既然已經連續出現了9個正面,那麼這種不平衡狀況應在下一次的結果中得到補救,即第10次應出現反面,這樣才能使出現正面與反面的可能性接近1/2。這種關於“平均數定律”的神話,其實是對機率概念的誤解。機率是從總體上考察現象發生的可能性,而不是說明下次將要發生什麼。事實上,硬幣沒有記憶。它不知道前9次的結果是正面,不能在下次擲的時候想辦法得個反面來平衡。當然,長期下來真的會達到平衡。但其道理在於︰在擲了比如說10000次後,頭9次的結果就無足輕重了,這不是被“補救”,而是被後來擲的 9991次的結果淹沒了。
  總而言之,賭徒的謬誤錯在︰誤認為過去發生的和將要發生的兩個獨立事件之間存在著某種聯繫,從而把兩個原本相互獨立的事件,誤看作前一個事件的結果會影響後一個事件結果發生的機率。

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